Wo kommen bloß all die Blobs her?

Ein paar Fragen

Welche Länder grenzen an Deutschland? Egal, ob wir die Antwort auf diese Frage wissen oder nicht, wir können schon im Voraus sagen, welche Struktur die Antwort haben wird: Es ist eine Liste von Ländern. Andere solche Fragen sind: Wer kommt morgen zu deiner Feier? Welche Sorten Obst hat der Supermarkt?
Oft will man über eine Kollektion/Liste/Ansammlung von Objekten als eine Einheit sprechen und diese zu einem Objekt/Blob zusammenfassen. Dabei kommt es (hier) einerseits nicht wirklich auf die Reihenfolge an und andererseits macht es auch nichts aus, wenn wir etwas mehrfach aufzählen (auch wenn es nicht sonderlich elegant ist). Wir nennen eine solche Struktur eine Menge.

Was ist eine Menge?

Man kann sich eine Menge als einen abstrakten 'Sack' vorstellen, der all die Objekte enthält, an denen wir interessiert sind. In Textform (z.B. in der Mathematik) stellt man das oft durch geschweifte Klammern dar, wie in {•,•,•} oder {Apfel, Birne, Pflaume}. Eine Möglichkeit es visuell darzustellen ist durch das Innere eines 'Kreises':

Man kann sich eine Menge also als eine Art Abgrenzung vorstellen. Die Objekte 'innen' gehören zur Menge, die die sich 'außen' befinden gehören nicht dazu.
Die Objekte in der Menge nennt man die 'Elemente' der Menge. Ähnlich wie in der Chemie, wo alle Substanzen in ihre (chemischen) Elemente zerlegt werden können, können wir Mengen komplett durch ihre Elemente beschreiben. Daraus kann man die erste elementare (aber dennoch wichtige) Beobachtung ziehen:
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten.

Teilmengen, Durchschnitte, Vereinigungen und Differenzen

Manchmal will man nur einen Teil der Elemente ansehen. Ebenso wie vorher kann man diese zu einer Menge zusammenfassen. Da sie in der ursprünglichen Menge enthalten ist, nennt man das eine Teilmenge. In einem Bild sieht das folgendermaßen aus:

Wenn man zwei Mengen A und B hat, dann kann man diese auf verschiedene Weisen zu neuen Mengen kombinieren. Beispielsweise kann man die Elemente in einen gemeinsamen 'Sack' werfen. Diese neue Menge nennt man die Vereinigung von A und B (vereinigen = zu einem Objekt zusammenfassen), geschrieben A ∪ B. Man kann aber auch die Elemente herauspicken, die sowohl in A, als auch in B vorkommen und diese in eine Menge tun, die wir den Durchschnitt von A und B nennen, geschrieben A ∩ B. Die dritte Kombination, die häufig vorkommt ist die Differenz. Wir nehmen nur die Elemente von A, die nicht in B vorkommen und schreiben dafür A \ B. (Beispiel: Es kommen alle deine Freunde zur Feier außer Paul, der ist krank.)
Wer mehr über Mengen wissen will, der kann den Wikipedia Artikel dazu lesen oder eine elementare Einführung auf 'mathisfun' hier und hier.

Wozu ist das gut?

• Es gibt eine extrem wichtige Eigenschaft von Mengen, die wir tagtäglich benutzen, nämlich, die Anzahl der Elemente in einer Menge. Diese ist im Alltag sehr nützlich, wenn wir feststellen wollen, ob wir etwas verloren haben (z.B. ob alle Schüler nach einem Tagesausflug in der Stadt den Weg zum Bus gefunden haben) oder ob wir 'genug' von einer Sache haben (z.B. genügend Gläser für alle Gäste).
• Man kann (ähnlich wie den Blob) das Mengenmodell als elementaren Baustein benutzen, um damit komplexere Strukturen aufzubauen. Mengen sind so flexibel, dass wir fast alle bekannten mathematische Strukturen als Mengen darstellen können (ob das sinnvoll ist, ist eine andere Frage).
• Die 'Menge' als Datenstruktur taucht immer mal wieder beim Programmieren auf. Viele Datenbanken sind nichts anderes als Listen mit etwas Zusatzstruktur.
• Mengen tauchen in Form von Listen tagtäglich auf. Beispiele sind Einkaufslisten, To-Do-Listen, Telefon- und Wörterbücher, usw. Wenn wir lernen diese Struktur im Alltag zu erkennen, dann erlaubt es uns diese zu verbessern. Mehr dazu später.

Zum Nachdenken

• Man stelle sich alle Menschen vor, die heute auf der Welt leben! Ist nicht ganz so einfach, oder? Wie fühlt es sich an, wenn das Gehirn eine Menge mit zu vielen Elementen zu einem Blob zusammenfasst?
• Was ist der Sinn des Lebens? Wer ist Schuld an der Finanzkrise? Haben diese Fragen wirklich eine Blob-Antwort? Solch komplexe Fragen können aus sehr verschiedenen Perspektiven betrachtet werden und wir erhalten dadurch eine Menge unterschiedlicher Antworten.
• Wieviele Elemente darf eine Menge haben, damit man sie sich noch im Detail vorstellen kann? Ist es einfacher sich Mengen vorzustellen, die eine zusätzliche Struktur haben? (Beispiel: man ordne neun Elemente in einem 3x3 Muster an.)

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